En mathématique, on distingue généralement deux types de nombres entiers. Il s’agit des entiers relatifs qui peuvent être positifs ou négatifs et des entiers naturels toujours positifs. Entre ces derniers, on retrouve les nombres premiers qui ont des caractéristiques particulières. Qu’est-ce qu’un nombre premier ? Quelles sont ses particularités ? Sont-ils infinis ? Autant de questions qui trouveront ici des éléments de réponse.
Plan de l'article
Qu’est-ce qu’un nombre premier ?
Un nombre premier est un nombre entier naturel qui admet strictement deux diviseurs entiers positifs et distincts. En d’autres termes, il s’agit d’un entier naturel qui n’est divisible que par 1 et lui-même. Par exemple, 13 ne peut être divisé que par 1 et 13.
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Cette règle permet d’établir la liste suivante des nombres premiers compris entre 0 et 100.
| 2 | 3 | 5 | 7 | 11 |
| 13 | 17 | 19 | 23 | 29 |
| 31 | 37 | 41 | 43 | 47 |
| 53 | 59 | 61 | 67 | 71 |
| 73 | 79 | 83 | 89 | 97 |
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Comme on peut le constater, le nombre 1 ne figure pas dans cette liste. En réalité, il n’est pas admis en tant que nombre premier. Ce retrait se justifie par le fait qu’il ne possède qu’un seul diviseur positif qui est 1.
On pourra donc dire pour être plus précis que :
« Un nombre premier est un nombre entier naturel plus grand que 1 qui admet exactement deux diviseurs entiers positifs et distincts (1 et lui-même) ».
Comment reconnaître un nombre premier ?
Il n’est pas toujours évident de reconnaître à première vue un nombre premier, surtout au-delà de 100. On peut facilement le confondre avec son opposé, le nombre composé. Pour pallier ce problème, plusieurs algorithmes ont vu le jour. Bien que tous semblent très efficaces, certains d’entre eux se sont démarqués du lot. Il s’agit entre autres des essais de divisions et de la méthode du crible d’Eratosthène.
Les essais de divisions
Pour identifier un nombre premier avec cet algorithme, on fait tout simplement sa racine carrée. On recense par suite tous les entiers qui sont inférieurs à celle-ci. S’il n’admet aucun diviseur parmi eux, il est premier ; sinon, il est composé.
Toutefois, cette méthode peut être ennuyeuse si vous n’êtes pas astucieux. Tâchez d’utiliser des raccourcis pour réduire le nombre de calculs à effectuer (un nombre indivisible par 2 ne peut l’être par 4).
La méthode du crible d’Eratosthène
C’est une technique qui permet de connaître les nombres premiers inférieurs à un nombre entier naturel n. Pour l’appliquer, il faut :
- dresser la liste des nombres entiers naturels inférieurs à n en commençant par 2 ;
- commencer par retenir 2 comme premier « nombre premier » de la liste ;
- barrer ensuite tous les multiples de 2 contenus dans cette liste ;
- passer au nombre suivant 2 parmi ceux non encore barrés : le nombre 3 naturellement ;
- barrer encore tous les multiples de 3 dans la liste ;
- reprendre le même processus jusqu’à ce qu’il ne reste plus rien à barrer.
Les nombres premiers recherchés sont les nombres non barrés restant dans la liste à la fin.
Ainsi, un nombre premier est un nombre entier naturel supérieur à 1 qui admet strictement deux diviseurs positifs différents. Pour le reconnaître, on utilise plusieurs techniques, dont le crible d’Eratosthène et les tests de primalité (essais de division). À défaut, vous pouvez également en savoir plus en lisant quelques livres de mathématiques. Alors, qu’attendez-vous pour faire le pas ?