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Comment calculer la valeur d’une option ?

Un peu d’histoire… La frénésie des bulbes tulipes

Au XVIIe siècle, l’aristocratie néerlandaise avait un appétit débordant pour les bulbes tulipes. La tulipe était alors un symbole de succès social. À cette époque, les agriculteurs qui la cultivaient achetaient des options de vente pour protéger leurs profits contre une baisse inattendue des prix des ampoules. Les grossistes, à leur tour, se sont protégés de la hausse des prix des ampoules tulipes en achetant des options. Au cours des années 1630, un marché secondaire d’options émerge, permettant aux investisseurs de spéculer sur le prix des ampoules. Cette hausse des prix a finalement conduit à la création et à l’implosion d’une bulle spéculative qui a provoqué une récession économique à grande échelle.

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L’interdiction de traiter des options

Après cette récession et malgré l’existence d’un marché organisé d’options en 1600 à Londres, les options ont été interdites dans de nombreux pays comme les États-Unis, l’Angleterre et le Japon. Les options étaient même strictement interdites en Angleterre dès le début de la XVIIIe siècle jusqu’à la fin du 19ème siècle.

Russell Wise

Russel Sage, un financier américain, créa une firme de courtage à la fin du XIXe siècle pour s’occuper des options de vente de gré à gré et des options de vente. Sage a été la première personne à établir un lien entre le prix d’une option, la valeur sous-jacente et les taux d’intérêt. Il a utilisé le principe de l’appel de parité mis pour imaginer des prêts synthétiques. Ce principe l’a même amené à fixer les taux d’intérêt sur les prêts qu’il offrait en choisissant soigneusement les grèves et les prix des options. Russel Sage a contribué de manière significative à l’évolution du marché des options. À la fin des années 1800, les courtiers et les opérateurs de marché font de la publicité pour attirer les acheteurs et les vendeurs d’options. L’association des courtiers et des opérateurs de marché en appel et vente a été créée dans le but de fédérer les réseaux pour créer les liquidités manquantes.

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Le marché des options cotées

Le marché des options a continué d’évoluer, principalement contrôlé par des courtiers titulaires de contrats de gré à gré. Le les courtiers ont ensuite réalisé des bénéfices sur la différence entre le prix de vente et le spread bid-ask. Pour rappel, les courtiers achètent au prix d’achat (enchère) et vendent sur offre (demander) avec enchère

L’explosion du marché

En 1968, le Chicago Board of Trade (CBOT) a constaté une baisse importante du volume traité sur le marché à terme des matières premières. Pour y faire face, le CBOT voulait diversifier l’offre de produits à ses membres et créé un marché réglementé d’options cotées. En 1973, le CBOE (Chicago Board of Option Exchange) est né. Lorsque CBOE a commencé ses activités, très peu de contrats énumérés et exclusivement des appels étaient répertoriés. L’absence de méthodologie pour calculer le prix d’une option et les écarts très importants demeurent des obstacles importants à l’explosion du marché. En 1973, les professeurs Fisher Black et Myron Scholes ont développé une formule mathématique qui a finalement calculé le prix exact d’une option. En 1974, le volume moyen d’options traitées chaque jour a atteint la marque symbolique de 20 000 pour la première fois de son histoire. Près de 4 siècles après la crise des bulbes tulipes aux Pays-Bas, le commerce d’options sur un marché réglementé est né.

Qu’est-ce qu’une option ? Une option est un produit financier traité sur une bourse (option cotée) ou hors comptoir (OTC). Une option est un contrat qui donne à l’acheteur le droit, et non l’obligation, l’achat (appel) ou la vente (vente) d’un actif sous-jacent à un prix fixe (grève) pendant une période (option américaine) ou à une date prédéterminée (option européenne). La grève est fixée à l’avance au moment du contrat comme tous les autres paramètres. Les options américaines peuvent être exercées à n’importe quelle date avant la date d’expiration, alors que les options européennes ne peuvent être exercées qu’à l’échéance. L’exercice d’une option signifie utiliser le droit d’acheter ou de vendre l’actif sous-jacent à la valeur de la grève.

Le cas d’un agriculteur

Pour illustrer ce qu’une option peut être utilisée, prenons le cas d’un agriculteur. L’agriculteur est structurellement vendeur de sa récolte. Lorsque l’agriculteur prévoit un risque élevé de baisse de la valeur de sa production, il peut acheter une option de vente à maturité autour de la date de récolte afin de garantir un plancher à son prix de vente.

Le cas d’un bijoutier

Un bijoutier a structurellement besoin d’acheter de l’or. Lorsqu’un bijoutier prévoit une hausse du prix de l’or, il achète une option d’achat de l’or pour lui permettre d’acheter sa matière première à un prix plafond égal au prix d’exercice de son option.

Les Grecs Le prix d’une option (la prime) dépend de plusieurs paramètres :

  • La valeur du
  • Volatilité du rendement
  • Le niveau des taux d’intérêt
  • Le passage du temps

Les Grecs (Delta, Gamma, Vega, Rho) permettent aux acteurs du marché de connaître la sensibilité de la prime d’une option à la variation de chacun de ses paramètres.

Le Delta

Le delta vous permet de connaître la sensibilité de l’option de mouvement de l’actif sous-jacent. Pour un achat par appel, plus le sous-jacent augmente la valeur de la prime. HATH inversement, pour un achat de vente, plus le sous-jacent augmente la valeur de la prime. Prenez par exemple un appel avec un Delta de 10€. Lorsque le sous-jacent augmente de 2€ la prime de l’option augmente de 10×2=20€.

Gamma

Le gamma est utilisé pour déterminer la sensibilité du delta de l’option au mouvement du sous-jacent ou la sensibilité de l’option aux variations quadratiques du sous-jacent. Pour un achat d’appel, plus le sous-jacent s’éloigne de sa valeur initiale, plus le prix augmente. Pour une vente d’appel, plus le sous-jacent s’éloigne de sa valeur initiale, le prix baisse. Prenez par exemple un appel avec un Gamma de 2€. Lorsque le sous-jacent tombe de -2€, la prime de l’option varie de 0.5*2* (-2) ^ (2) =4€. Étant donné que l’exposition au gamma est proportionnelle au carré de la variation dans la sous-jacente, la direction dans laquelle le sous-jacent varie n’a pas d’incidence.

Le Vega

Le vega permet de connaître la sensibilité de l’option au mouvement de la volatilité implicite du sous-jacent. Pour un achat d’appel, plus la volatilité augmente le prix augmente. Prenez par exemple un appel avec un vega de 5€. Lorsque la volatilité implicite augmente de 2%, la prime de l’option varie de 5*2=10€.

La thêta

Le thêta permet de connaître la sensibilité de l’option au passage du temps. Pour un achat d’appel, la valeur diminue lorsque vous vous rapprochez de l’échéance. Prenons par exemple un appel avec un Theta de 0,10 cents d’EUR. Chaque jour qui passe, la prime de l’option varie de -0,10€.

Le Rho

Rho permet de connaître la sensibilité de l’option aux variations des taux d’intérêt. Pour un achat par appel, plus les tarifs augmentent la valeur de la prime d’option augmente. Prenez par exemple un appel avec un rho de 3€. Lorsque le taux courbe fait un décalage parallèle de 2%, la prime de l’option varie de 3×2=6€.

Gestion d’un carnet d’options

Un fabricant de marché sur un marché d’options réglementé tel qu’EUREX ou Liffe a l’obligation d’afficher les prix d’achat et de vente tout au long de la journée de négociation. Elle réalisera donc des bénéfices en raison de la différence entre le prix d’achat et le prix de vente. Tout au long de la journée, les options traitées seront donc agrégées avec le livre que le créateur de marché doit gérer dynamiquement. La salle de marché d’une BFI ne veut pas structurellement prendre des positions directionnelles sur les marchés parce qu’elles sont trop risquées. Le producteur de marché vendra donc son delta, c’est-à-dire son exposition à la gestion du marché. Pour vendre son delta, le créateur de marché vend ou achète des actifs sous-jacents ou des contrats à terme.

Bien que la vente ou l’achat d’actifs sous-jacents ou à terme suffisent pour neutraliser le delta, il est plus difficile de neutraliser d’autres sensibilités. En effet, lorsque la marché maker vend des appels et met, il a une position qui se définit non seulement avec delta mais aussi gamma, vega et theta.

Pour neutraliser les sensibilités autres que delta, le producteur de marché doit acheter ou vendre des options tout au long de la journée de négociation.

Les Grecs et l’approximation de Taylor

Lorsque nous exprimons la valeur d’un appel en fonction de ses paramètres avant de faire une approximation de Taylor, nous obtenons :

C=Vleft (t, S, sigma, rdroite)

dcleft (t, S, sigma, rright) =frc {partiel C} {partiel C} {partiel C} {partiel C} {partiel S} ds frac {2} engc {partial^2c} {partialsigma} {partiel S^2} ds^2 frac {partiel C} {partialsigma} dsigma engc {partiel C} dr

DClever (t, S, sigma, rdroite) =thêta dt Delta DS Frac {1} {2} gamma ds^2 vartheta dsigma rho dr

Les Grecs nous permettent donc d’avoir une idée très précise des changements dans le prix d’un appel à variantes infinitésimales de variables dont dépend sa valeur.

L’approche graphique

La démonstration des Noirs et des Scholes (1973) Soit P est un portefeuille autofinancé comprenant une option Vleft (S, tright) et le montant delta du S sous-jacent :

Pli (tright) =Vleft (S, tright) Delta S (t)

  1. Le S sous-jacent évolue suivant un processus Ito : frac {dS} {S} =mu dt sigma dZ avec dz=nLeft (0, dtright)
  2. Le sous-jacent est une action qui ne paie pas de dividendes
  3. Le taux sans risque est constant
  4. Il n’y a pas de frais de courtage
  5. Le rendement suit la distribution normale du log
  6. L’option est européenne
  7. Le marché est efficace

Le lemme d’Ito nous donne pour Vleft (S, tright)

DVLeft (S, tright) =gauche (frac {partiel V} {t partiel} mu Sfrac {partiel V} {partiel V} {partiel S} engc {1} {2} sigma^2s^2frac {partial^2v} {partiel S^2} droit) dt sigma Sfrac {partiel V} {partiel S} dZ

Étant donné que le portefeuille est autofinancé, les actifs du portefeuille sont les seuls éléments qui évoluent au fil du temps :

DP=DV Delta Ds

dp=gauche (frac {partiel V} {t partiel} mu Sfrac {partiel V} {partiel S} frac {1} {2} sigma^2frc {partial^2v} {partiel S^2} Deltamu Sright) dt gauche (sigma Sfrac {partiel V} {partiel S} Deltasigma Sright) dz

Portefeuille P est sans risque :

gauche (sigma Sfrac {partiel V} {partiel S} Deltasigma Sright) =0 Droite Delta =-engc {partiel V} {partiel S}

Étant donné que le portefeuille est sans risque, il doit retourner le taux sans risque :

dp=RPDT

L’équation Black et Scholes est obtenue :

frac {partiel V} {t partiel} frac {1} {2} sigma^2s^2frac {partial^2v} {partiel S^2} RSFrac {partiel V} {partiel S} -rv=0

Avec des conditions limites :

  • Vleft (0, tright) =0
  • Vleft (S, tright) sim S quand Srightarrow
  • Vleft (S, Tright) =gauche (S-Kright) ^

Des changements variables sont apportés dans l’équation Black et Scholes :

x=ln {frac {S} {K}}

tau=fra {sigma^2} {2} gauche (t-tright)

Vleft (S, tright) =Kvleft (x, tauright)

k=fra {r} {frac {sigma^2} {2}}

vleft (x, tauright) =e^ {alpha x betatau} uleft (x, tauright)

alpha=-fra {k-1} {2}

beta=-frc {gauche (k 1droite) ^2} {4}

L’équation B&S devient :

frac {uleft partiel (x, tauright)} {partialtau} =frc {partial^2uleft (x, tauright)} {partiel x^2}

Nous reconnaissons l’équation de propagation de la chaleur, dont la solution est :

uleft (x, tauright) =frc {1} {sqrt {2pitau}} int_ {-infty} ^ { infty} {u_0left (sright) e^ {-frac {left (x-sright) ^2} {4tau}} ds}

Avec :

d_1=engc {ln {left (frac {S} {K} droite)} gauche (r frac {sigma^2} {2} droite) gauche (t-tright)}

d_2=engc {ln {left (frac {S} {K} droite)} gauche (r-frac {sigma^2} {2} droite) gauche (t-tright)}

varphileft (xright) =frac {1} {sqrt {2pi}} int_ {-infty} ^ {x} {exp^ {-frac {y^2} {2}}} dy=pleft (Xle xright) pour X=Nleft (0,1right) La fonction de distribution normale centrée réduite.

Nous obtenons le résultat final de la valeur d’un appel en t, de S sous-jacent :

fente (S, tright) =Sgauche (tright) varphileft (d_1droite) -Kexp^ {-rleft (t-tright)} varphileft (d_2droite)

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